diff --git a/personoj/proj.lp b/personoj/proj.lp
index c1b71122bcc2e875e56c70bf1cf6884bbf505495..b3d47eebb5b23874b6a10c04d4dcd1a503364de5 100644
--- a/personoj/proj.lp
+++ b/personoj/proj.lp
@@ -5,8 +5,8 @@ symbol Proj : Nat → Nat → Π (a: Set), El a → TYPE;
 rule Proj 0 0 $a _ ↪ El $a with
     Proj 0 (succ _) (Σ $a _) _ ↪ El $a with
     Proj 0 (succ _) (σ $a _) _ ↪ El $a with
-    Proj (succ $n) (succ $l) (Σ _ $u) (consd $x $y) ↪ Proj $n $l ($u $x) $y with
-    Proj (succ $n) (succ $l) (σ _ $u) (cons _ $y) ↪ Proj $n $l $u $y;
+    Proj (succ $n) (succ $l) (Σ _ $u) $x ↪ Proj $n $l ($u (card $x)) (cdrd $x) with
+    Proj (succ $n) (succ $l) (σ _ $u) $x ↪ Proj $n $l $u (cdr $x);
 
 assert (T: Set) (U: Set) (x: El T) (y: El U) ⊢ Proj 1 1 (σ T U) (cons x y) ≡ El U;
 assert (T: Set) (U: El T → Set) (x: El T) (y: El (U x)) ⊢ Proj 1 1 (Σ T U) (consd x y) ≡ El (U x);
diff --git a/personoj/tuple.lp b/personoj/tuple.lp
index aac1b77c0d4ad0deaab2411005b3f944951c0e6e..b21f793a09fc2a46401344fa5a418eccee62f7d6 100644
--- a/personoj/tuple.lp
+++ b/personoj/tuple.lp
@@ -7,33 +7,3 @@ symbol car {a: Set} {b: Set}: El (σ a b) → El a;
 symbol cdr {a: Set} {b: Set}: El (σ a b) → El b;
 rule car (cons $x _) ↪ $x;
 rule cdr (cons _ $y) ↪ $y;
-
-require open personoj.nat;
-
-/// [Proj n l t] returns the element at index [n] of tuple [t] of length [l].
-symbol Proj : Nat → Nat → Set → TYPE;
-rule Proj 0 0 $t ↪ El $t
-with Proj 0 (succ _) (σ $t _) ↪ El $t
-with Proj (succ $n) (succ $l) (σ _ $u) ↪ Proj $n $l $u;
-
-/// [proj n l e] returns the element at index [n] of list (made of pairs) [e] of
-/// length [l], where [length (σ _ B) = 1 + length B] and [length t = 0] if [t]
-/// is not a pair.
-symbol proj {A: Set} {B: Set} (n: Nat) (m: Nat) (_: El (σ A B)):
-  Proj n m (σ A B);
-rule proj 0 (succ _) $e ↪ car $e
-with proj 1 1 $e ↪ cdr $e
-with @proj $A (σ $B1 $B2) (succ $n) (succ $l) $e
-   ↪ @proj $B1 $B2 $n $l (@cdr $A (σ $B1 $B2) $e);
-
-assert (T: Set) (U: Set) ⊢ Proj 1 1 (σ T U) ≡ El U;
-assert (T: Set) (U: Set) ⊢ Proj 0 1 (σ T U) ≡ El T;
-assert (T: Set) (U: Set) (V: Set) ⊢ Proj 2 2 (σ T (σ U V)) ≡ El V;
-assert (T: Set) (e: El T) (e': El T) ⊢ proj 1 1 (cons e e') ≡ e';
-assert (T: Set) (e: El T) (e': El T) ⊢ proj 0 1 (cons e e') ≡ e;
-assert (T: Set) (U: Set) (V: Set) (et: El T) (eu: El U) (ev: El V) ⊢
-  proj 2 2 (cons et (cons eu ev)) ≡ ev;
-assert (T: Set) (U: Set) (V: Set) (et: El T) (eu: El U) (ev: El V) ⊢
-  proj 1 2 (cons et (cons eu ev)) ≡ eu;
-assert (T: Set) (U: Set) (V: Set) (et: El T) (eu: El U) (ev: El V) ⊢
-  proj 0 2 (cons et (cons eu ev)) ≡ et;