corrections, plus de légendes

presentation.tex

@@ -92,7 +92,7 @@
 
 \subsection{\'Etude de l'oscillateur: apparition du chaos}
 \subsubsection{Du continu au discret: fonction de Poincaré}
-$\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poincaré.
+$\phi_t(x)$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poincaré.
 \vspace{40mm}
 \begin{figure}[!h]
     \centering
@@ -132,26 +132,34 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
 
 \paragraph{\'Eléments de preuve du chaos via la théorie de la bifurcation}
 \[f_\lambda(x) = G(\lambda, x)\colon \R^2\to\R\]
-\begin{figure}[!h]
-    \centering
-    \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda < 1$]
-    {\begin{tikzpicture}
-            \begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
-                \addplot[mark = none, smooth, domain=-2:2] {0.6*sinh(x)};
-                \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
-            \end{axis}
-        \end{tikzpicture}
-    }
-    \quad
-    \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda > 1$]
-    {\begin{tikzpicture}
-            \begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
-                \addplot[mark=none, smooth, domain=-2:2] {1.2*sinh(x)};
-                \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
-            \end{axis}
-        \end{tikzpicture}
-    }
-\end{figure}
+\begin{thm}[Bifurcation de doublement de période]
+    Soit $f_\lambda(x)$ telle que: $f_\lambda(0) = 0$, $f_{\lambda_0}'(0) = -1$
+    et
+    $\left.\frac{\partial (f_\lambda^2)'}{\partial \lambda}
+    \right\rvert_{\lambda=\lambda_0}$.
+    Alors il existe une fonction $p$ telle que
+    \[ f_{p(x)}(x) \ne x \text{ mais } f_{p(x)}^2(x) = x\text{.}\]
+\end{thm}
+%\begin{figure}[!h]
+%    \centering
+%    \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda < 1$]
+%    {\begin{tikzpicture}
+%            \begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
+%                \addplot[mark = none, smooth, domain=-2:2] {0.6*sinh(x)};
+%                \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
+%            \end{axis}
+%        \end{tikzpicture}
+%    }
+%    \quad
+%    \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda > 1$]
+%    {\begin{tikzpicture}
+%            \begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
+%                \addplot[mark=none, smooth, domain=-2:2] {1.2*sinh(x)};
+%                \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
+%            \end{axis}
+%        \end{tikzpicture}
+%    }
+%\end{figure}
 
 \subparagraph{\'Evolution vers le chaos}
 \begin{prop}
@@ -159,7 +167,7 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
 \end{prop}
 \begin{figure}[H]
     \centering
-    \subfloat[Graphe de $F_{2.9}^2(x)$]
+    \subfloat[Graphe de $F_{2.9}^2(x)$, un seul point fixe]
         {\begin{tikzpicture}
             \begin{axis}[width = 6cm, ticks=none, axis x line = middle, axis y line = left]
                 \addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {8.41*(1-x)*x*(1-2.9*(1-x)*x)};
@@ -168,7 +176,7 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
         \end{tikzpicture}
     }
     \quad
-    \subfloat[Graphe de $F_{3.2}^2(x)$]
+    \subfloat[Graphe de $F_{3.2}^2(x)$, apparition d'un deuxième point fixe]
         {\begin{tikzpicture}
             \begin{axis}[width = 6cm, ticks = none, axis x line = middle, axis y line = left]
                 \addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {10.24*(1-x)*x*(1-3.2*(1-x)*x)};
@@ -189,10 +197,11 @@ $L_\mu$ affine telle que $L_\mu(p_\mu) = 0$ et $L_\mu(\hat{p}_\mu) = 0$,
         \end{axis}
     \end{tikzpicture}
     \caption{Diagramme d'orbite de la fonction logistique
-        $F(x) = \mu x(1-x)$ pour $\mu \in [3,4]$}\label{fig:diag_orb}
+        $F(x) = \mu x(1-x)$ pour $\mu \in [3,4]$, chaque séparation correspond
+        à une bifurcation de doublement de période.}\label{fig:diag_orb}
 \end{figure}
 
-\subsection{Retour à l'oscillateur de Chua}
+\subsection{Application à l'oscillateur de Chua}
 \begin{figure}[H]
     \centering
     \begin{tikzpicture}
@@ -202,13 +211,20 @@ $L_\mu$ affine telle que $L_\mu(p_\mu) = 0$ et $L_\mu(\hat{p}_\mu) = 0$,
             \end{axis}
     \end{tikzpicture}
     \caption{Diagramme d'orbite, obtenu en calculant une fonction de Poincaré
-        par paramètre $\alpha$ balayé.}
+        par paramètre $\alpha$ balayé, on retrouve la succession de bifurcations
+        de doublement de période menant au chaos.}
 \end{figure}
 
-\section{Mise en \oe uvre}
+\section{Mise en \oe uvre d'un oscillteur de Chua}
 \subsection{Réalisation du circuit}
+\begin{description}
+    \item[Choix des composants] condensateurs à films, plus précis.
+    \item[Résultat] pas de signal exploitable, circuit trop sensible.
+\end{description}
 \subsection{Simulation numérique}
-\subsection{Application: cryptage d'informations}
+Via Python et la fonction \texttt{odeint} de \texttt{scipy} pour la résolution
+du système.
+\subsection{Cryptage d'informations}
 \subsubsection{Cryptage d'un signal par masque additif, transmission par AM}
 %\begin{figure}[H]
 %\begin{tikzpicture}
@@ -219,32 +235,32 @@ $L_\mu$ affine telle que $L_\mu(p_\mu) = 0$ et $L_\mu(\hat{p}_\mu) = 0$,
 %\end{tikzpicture}
 %\end{figure}
 \[ s_m(t) = A_p\left[ 1 + m\left(e(t)+x(t)\right)\right]\cos(2\symup{\pi}f_pt)\]
-\begin{center}
-\begin{tikzpicture}
-    % Signal
-    \draw[->] (5,0) node[above] {$e(t)$} -- (6.25,0);
-    % Chua
-    \draw (6.5,2) node {$\mathfrak{C}$};
-    \draw (6,1.75) rectangle (7,2.25);
-    \draw[->] (6.5,1.75) -- (6.5,0.25);
-    % Somme
-    \draw (6.5,0) circle (0.25cm);
-    \draw (6.5,0) node {$+$};
-    \draw[->] (6.75,0) -- (8,0);
-    % Porteuse
-    \draw[->] (5,-0.5) node[below] {$p(t)$} -- (8,-0.5);
-    % Multiplieur
-    \draw (10,-0.25) node {multiplicateur};
-    \draw (8,-0.75) rectangle (12,0.25);
-    % Sortie
-    \draw[->] (12,-0.25) -- (13,-0.25) node[right] {$s_m(t)$};
-\end{tikzpicture}
-\end{center}
+%\begin{center}
+%\begin{tikzpicture}
+%    % Signal
+%    \draw[->] (5,0) node[above] {$e(t)$} -- (6.25,0);
+%    % Chua
+%    \draw (6.5,2) node {$\mathfrak{C}$};
+%    \draw (6,1.75) rectangle (7,2.25);
+%    \draw[->] (6.5,1.75) -- (6.5,0.25);
+%    % Somme
+%    \draw (6.5,0) circle (0.25cm);
+%    \draw (6.5,0) node {$+$};
+%    \draw[->] (6.75,0) -- (8,0);
+%    % Porteuse
+%    \draw[->] (5,-0.5) node[below] {$p(t)$} -- (8,-0.5);
+%    % Multiplieur
+%    \draw (10,-0.25) node {multiplicateur};
+%    \draw (8,-0.75) rectangle (12,0.25);
+%    % Sortie
+%    \draw[->] (12,-0.25) -- (13,-0.25) node[right] {$s_m(t)$};
+%\end{tikzpicture}
+%\end{center}
 
 \subsubsection{Utilisation en GPA}
 Cryptage par flux avec ``XOR'' noté $\oplus$.
 \begin{cor}
-    \[ a = b \oplus c \iff b = a \oplus c \]
+    $a = b \oplus c \iff b = a \oplus c$
 \end{cor}
 
 \subsection{Vérifications de la théorie: dépendance sensible et apériodicité}