commente quelques definitions, demonstrations ajustees

prel.tex

@@ -14,14 +14,13 @@
 \end{thm}
 \begin{proof}
     Démontrable, mais long. L'existence fait appel au théorème d'inversion
-    locale dont la démonstration nécessite le théorème du point fixe (que
-    l'on a démontré en TD).
+    locale dont la démonstration nécessite le théorème du point fixe.
 \end{proof}
 \subsection{Théorie des systèmes dynamiques}
 \subsubsection{Systèmes dynamiques discrets}
 On définit un système dynamique discret par une fonction $g:W\to E$ avec
 $W$ un ensemble de l'espace vectoriel $E$.
-\begin{defn}
+\begin{defn}[Orbite]
     L'orbite avant de $x$ est l'ensemble des points $x, f(x), f^2(x), \dots$
     et est noté $O^+(x)$.
 
@@ -30,7 +29,7 @@ $W$ un ensemble de l'espace vectoriel $E$.
     de $x$, $O^-(x)$ comme l'ensemble des points
     $x, f^{-1}(x), f^{-2}(x), \dots$.
 \end{defn}
-\begin{defn}
+\begin{defn}[Point fixe, périodique]
     Un point $x$ est fixe si $f(x) = x$. Un point $x$ est périodique de période
     $n$ si $f^n(x) = x$. Le plus petit entier $n$ pour lequel $f^n(x)=x$ est
     appelé période première de $x$. On note l'ensemble des points périodiques de
@@ -326,8 +325,15 @@ Nous n'étudierons que la bifurcation de \emph{dédoublement de période}:
     \[ f^2_{p(x)}(x) = x \]
 \end{thm}
 \begin{proof}
-    Théorème des fonctions implicites puis théorème~\ref{thm:bif_1},
-     conclusion.
+    Admis. Idée de la démonstration:
+    On applique le théorème des fonctions implicites à
+    \[
+        H(x,\lambda) =
+        \begin{cases}
+            \frac{G(x,\lambda)}{x}, & x \ne 0\\
+            \frac{\partial G}{\partial x}(0,\lambda), & x = 0\text{.}
+        \end{cases}
+    \]
 \end{proof}
 \begin{rem}
     L'énoncé ci-dessus n'est valable que pour une fonction ayant $0$ pour point
@@ -398,23 +404,24 @@ alors
 Alors $g$ est un système dynamique \emph{discret} avec un point fixe en 0. On
 appelle $g$ une \emph{fonction de Poincaré}.
 
-La dynamique de la fonction de Poincaré est localement similaire à celle du
-flot associé. Ainsi,
-\begin{prop}
-    Soit $g\colon S_0 \to S$ une fonction de Poincaré pour $\gamma$. Soit
-    $x\in S_0$ tel que $\lim_{n\to\infty} g^n(x) = 0$. Alors
-    \[ \lim_{t\to\infty} d\left(\phi_t(x),\gamma\right) = 0 \]
-\end{prop}
-\begin{proof}
-    Sans grande difficulté.
-\end{proof}
-On a également
-\begin{prop}
-    Si 0 est un attracteur pour $g$, alors $\gamma$ est asymptotiquement stable.
-\end{prop}
-\begin{proof}
-    Requiert la proposition précédente, est un peu plus compliquée.
-\end{proof}
+On admet que la dynamique de la fonction de Poincaré est localement similaire à
+celle du flot associé (on peut démontrer les points attracteurs de la fonction
+de Poincaré correspondent à des orbites attractives).
+%\begin{prop}
+%    Soit $g\colon S_0 \to S$ une fonction de Poincaré pour $\gamma$. Soit
+%    $x\in S_0$ tel que $\lim_{n\to\infty} g^n(x) = 0$. Alors
+%    \[ \lim_{t\to\infty} d\left(\phi_t(x),\gamma\right) = 0 \]
+%\end{prop}
+%\begin{proof}
+%    Sans grande difficulté.
+%\end{proof}
+%On a également
+%\begin{prop}
+%    Si 0 est un attracteur pour $g$, alors $\gamma$ est asymptotiquement stable.
+%\end{prop}
+%\begin{proof}
+%    Requiert la proposition précédente, est un peu plus compliquée.
+%\end{proof}
 
 \subsection{Chaos}
 Nous utiliserons la définition de Robert L. Devaney du chaos~\cite{ICDS03}