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Commit 7b6455cc authored by gabrielhdt's avatar gabrielhdt
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......@@ -39,7 +39,7 @@ résistance affine par morceaux, $h(x) = m_1x + \frac{1}{2}(m_0 - m_1)
\end{cases}
\]
$h$ est affine par morceaux et continue sur $\R$, son graphe est visible
figure~\ref{fig:graphe_mem_eq}.
figure~\ref{fig:graphe_mem_eq} page~\pageref{fig:graphe_mem_eq}.
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
......@@ -66,171 +66,172 @@ figure~\ref{fig:graphe_mem_eq}.
$\beta = 28$ avec les conditions initiales $(x,y,z) = (0.7,0,0)$.}
\end{figure}
\begin{proof}
On se ramènera au circuit suivant avec $G$ la conductance du résistor $R$.
\begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=1.5]
\draw
(0,0) to[L=$L$,i=$i_L$] (0,2) to[short] (1,2) to[R, l_=$R$,v^>=$u_R$]
(3,2) to[short] (4,2) to[Mr=$M$,i=$i_M$] (4,0) to[short] (0,0);
\draw (1,2) to[C=$C_2$,v=$v_{C_2}$,i<=$i_C$] (1,0);
\draw (3,2) to[C=$C_1$,v=$v_{C_1}$] (3,0);
\end{circuitikz}
\end{center}
\'Equation en $i_L$, maille de gauche;
la loi de Kirchhoff donne $u_l + v_{C_2} = 0$. En remplaçant $u_l$ par
$L\frac{di_L}{dt}$, on obtient
\[
\frac{di_L}{dt} = -\frac{1}{L}v_{C_2}\text{.}
\]
\'Equation en $v_{C_2}$, maille du milieu; en notant $u_R$ la tension aux
bornes de la résistance et $i_C$ l'intensité parcourant la bobine
$C_2$, on a grâce à la loi de Kirchhoff, avec
$i_C = -C_2\frac{dv_{C_2}}{dt}$ et
$u_R = -R(i_L+i_C)$,
\begin{gather*}
v_{C_1} = v_{C_2} + u_R\\
v_{C_1} = v_{C_2} - R(i_L+i_C)\\
v_{C_1} = v_{C_2} - R\left(i_L - C_2\frac{dv_{C_2}}{dt}\right)\\
C_2 \frac{dv_{C_2}}{dt} = G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L\text{.}
\end{gather*}
\'Equation en $v_{C_1}$, maille de droite; on note $Z_n$ l'impédance du
memristor telle que $v_{C_1} = Z_n(v_{C_1})i_M$
et $Z_e$ l'impédance de l'association du memristor et de $C_1$. On a alors
\[ Z_e = \frac{Z_n}{1+jCZ_n\omega}\]
on se ramène au schéma suivant,
\begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=1.8]
\draw (0,1) to[R=$R$] (1,1) to[generic,l=$Z_e$,v=$v_{C_1}$] (1,0)
to[short] (0,0) to[open,v>=$v_{C_2}$] (0,1);
\end{circuitikz}
\end{center}
et on a un montage du type pont diviseur de tension, d'où
\begin{gather*}
v_{C_1} = \frac{Z_e}{R + Z_e}v_{C_2} = \frac{1}{1+R/Z_n+j\omega RC}v_{C_2}\\
\frac{R}{Z_n}v_{C_1} + v_{C_1} +j\omega v_{C_1}RC_1 = v_{C_2}\\
C_1 \frac{dv_{C_1}}{dt} = G(v_{C_2} - v_{C_1}) - \frac{1}{Z_n}v_{C_1}
\end{gather*}
On a $Z_n$ définie telle que (en notant $i_M$ l'intensité passant dans le
memristor) $v_{C_1} = Z_n(v_{C_1})i_M$. Soit la
fonction $g$ telle que $i_M = g(v_{C_1})$, linéaire par morceaux,
\[
g(v_{C_1}, B_p, \gamma, \mu) = \mu v_{C_1} + \frac{1}{2}(\gamma - \mu)
\left(\abs{v_{C_1} + B_p} - \abs{v_{C_1} - B_p}\right)
\]
\begin{rem}
On notera que $\mu$ et $\gamma$ sont des conductances ($\Omega^{-1}$) vu
que $g$ est une intensité et $v_{C_{1,2}}$ sont des tensions
et $B_p$ est une tension.
\end{rem}
On en déduit $Z_n(v_{C_1}) = \frac{v_{C_1}}{g(v_{C_1})}$, puis
\[
C_1 \frac{dv_{C_1}}{dt} = G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1})
\]
On obtient le système
\[
\left\lbrace
\begin{aligned}
C_1 \frac{dv_{C_1}}{dt} &= G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1})\\
C_2 \frac{dv_{C_2}}{dt} &= G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L\\
L \frac{di_L}{dt} &= -v_{C_2}
\end{aligned}
\right.
\]
On effectue ensuite les changements de variables indiqués
dans~\cite{TDB85}
\[
\begin{matrix}
x = v_{C_1}/B_p & y = v_{C_2}/B_p & z = i_L/(B_pG)\\
\tau = tG/C_2 & \alpha = C_2/C_1 & \beta = C_2/(LG^2)\\
a = \gamma/G & b = \mu/G
\end{matrix}
\]
et on obtient, en considérant $f(x) = g(x, 1, a, b)$, le système
adimensionné
\[
\left\lbrace
\begin{aligned}
\frac{dx}{d\tau} &= \alpha(y - x - f(x))\\
\frac{dy}{d\tau} &= x - y + z\\
\frac{dz}{d\tau} &= -\beta y
\end{aligned}
\right.
\]
En posant $h = x + f(x)=m_1x + \frac{1}{2}(m_0-m_1)(\abs{x+1}-\abs{x-1})$
on obtient
le système~\ref{eq:chua}.
Voir~\ref{app:demo_chua} page~\pageref{app:demo_chua}.
% On se ramènera au circuit suivant avec $G$ la conductance du résistor $R$.
% \begin{center}
% \begin{circuitikz}[scale=1.5]
% \draw
% (0,0) to[L=$L$,i=$i_L$] (0,2) to[short] (1,2) to[R, l_=$R$,v^>=$u_R$]
% (3,2) to[short] (4,2) to[Mr=$M$,i=$i_M$] (4,0) to[short] (0,0);
% \draw (1,2) to[C=$C_2$,v=$v_{C_2}$,i<=$i_C$] (1,0);
% \draw (3,2) to[C=$C_1$,v=$v_{C_1}$] (3,0);
% \end{circuitikz}
% \end{center}
%
% \'Equation en $i_L$, maille de gauche;
% la loi de Kirchhoff donne $u_l + v_{C_2} = 0$. En remplaçant $u_l$ par
% $L\frac{di_L}{dt}$, on obtient
% \[
% \frac{di_L}{dt} = -\frac{1}{L}v_{C_2}\text{.}
% \]
%
% \'Equation en $v_{C_2}$, maille du milieu; en notant $u_R$ la tension aux
% bornes de la résistance et $i_C$ l'intensité parcourant la bobine
% $C_2$, on a grâce à la loi de Kirchhoff, avec
% $i_C = -C_2\frac{dv_{C_2}}{dt}$ et
% $u_R = -R(i_L+i_C)$,
% \begin{gather*}
% v_{C_1} = v_{C_2} + u_R\\
% v_{C_1} = v_{C_2} - R(i_L+i_C)\\
% v_{C_1} = v_{C_2} - R\left(i_L - C_2\frac{dv_{C_2}}{dt}\right)\\
% C_2 \frac{dv_{C_2}}{dt} = G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L\text{.}
% \end{gather*}
%
% \'Equation en $v_{C_1}$, maille de droite; on note $Z_n$ l'impédance du
% memristor telle que $v_{C_1} = Z_n(v_{C_1})i_M$
% et $Z_e$ l'impédance de l'association du memristor et de $C_1$. On a alors
% \[ Z_e = \frac{Z_n}{1+jCZ_n\omega}\]
% on se ramène au schéma suivant,
% \begin{center}
% \begin{circuitikz}[scale=1.8]
% \draw (0,1) to[R=$R$] (1,1) to[generic,l=$Z_e$,v=$v_{C_1}$] (1,0)
% to[short] (0,0) to[open,v>=$v_{C_2}$] (0,1);
% \end{circuitikz}
% \end{center}
% et on a un montage du type pont diviseur de tension, d'où
% \begin{gather*}
% v_{C_1} = \frac{Z_e}{R + Z_e}v_{C_2} = \frac{1}{1+R/Z_n+j\omega RC}v_{C_2}\\
% \frac{R}{Z_n}v_{C_1} + v_{C_1} +j\omega v_{C_1}RC_1 = v_{C_2}\\
% C_1 \frac{dv_{C_1}}{dt} = G(v_{C_2} - v_{C_1}) - \frac{1}{Z_n}v_{C_1}
% \end{gather*}
% On a $Z_n$ définie telle que (en notant $i_M$ l'intensité passant dans le
% memristor) $v_{C_1} = Z_n(v_{C_1})i_M$. Soit la
% fonction $g$ telle que $i_M = g(v_{C_1})$, linéaire par morceaux,
% \[
% g(v_{C_1}, B_p, \gamma, \mu) = \mu v_{C_1} + \frac{1}{2}(\gamma - \mu)
% \left(\abs{v_{C_1} + B_p} - \abs{v_{C_1} - B_p}\right)
% \]
% \begin{rem}
% On notera que $\mu$ et $\gamma$ sont des conductances ($\Omega^{-1}$) vu
% que $g$ est une intensité et $v_{C_{1,2}}$ sont des tensions
% et $B_p$ est une tension.
% \end{rem}
% On en déduit $Z_n(v_{C_1}) = \frac{v_{C_1}}{g(v_{C_1})}$, puis
% \[
% C_1 \frac{dv_{C_1}}{dt} = G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1})
% \]
%
%
% On obtient le système
% \[
% \left\lbrace
% \begin{aligned}
% C_1 \frac{dv_{C_1}}{dt} &= G(v_{C_2} - v_{C_1}) - g(v_{C_1})\\
% C_2 \frac{dv_{C_2}}{dt} &= G(v_{C_1} - v_{C_2}) + i_L\\
% L \frac{di_L}{dt} &= -v_{C_2}
% \end{aligned}
% \right.
% \]
%
% On effectue ensuite les changements de variables indiqués
% dans~\cite{TDB85}
% \[
% \begin{matrix}
% x = v_{C_1}/B_p & y = v_{C_2}/B_p & z = i_L/(B_pG)\\
% \tau = tG/C_2 & \alpha = C_2/C_1 & \beta = C_2/(LG^2)\\
% a = \gamma/G & b = \mu/G
% \end{matrix}
% \]
% et on obtient, en considérant $f(x) = g(x, 1, a, b)$, le système
% adimensionné
% \[
% \left\lbrace
% \begin{aligned}
% \frac{dx}{d\tau} &= \alpha(y - x - f(x))\\
% \frac{dy}{d\tau} &= x - y + z\\
% \frac{dz}{d\tau} &= -\beta y
% \end{aligned}
% \right.
% \]
% En posant $h = x + f(x)=m_1x + \frac{1}{2}(m_0-m_1)(\abs{x+1}-\abs{x-1})$
% on obtient
% le système~\ref{eq:chua}.
\end{proof}
\begin{rem}
On peut vérifier le caractère adimensionné du système en examinant les
changements de variables (évident pour $x,y,\alpha,a,b$). On remarque
d'abord $\dim L = T\dim G$ (avec $u=Ldi/dt$) et $\dim C = \dim(U)TI^{-1}$
(avec $i=Cdu/dt$),
\begin{itemize}
\item $\dim z = I\dim(GB_p)^{-1}$, avec la loi d'Ohm ($I=UG$), on
obtient $\dim(GB_p) = I$, donc $z$ adimensionné.
\item $\dim\beta = \dim C \dim(LG^2)^{-1}$, avec
$\dim(LG^2)=\dim(U)TI^{-1}
\dim(G)^2 = II^{-1}\dim(G)T=T\dim G$ et on obtient bien $\beta$
sans dimension.
\item $\dim\tau = T\dim G\dim C^{-1}$ donne $\tau$ sans dimension.
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis x line = center,
axis y line = middle,
xlabel={$v_{C_1}$},
ylabel={$i_M = g(v_{C_1})$},
xtick = {-1,1},
xticklabels = {$-B_p$,$B_p$},
domain = -2:2]
\addplot[mark=none]
{-0.5*x+0.5*(-.8+0.5)*(abs(x+1)-abs(x-1))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Caractéristique de la résistance non linéaire $i = g(v_{C_1})$ où
$g(x, B_p, \gamma, \mu) =
\mu v_{C_1} + \frac{1}{2}(\gamma - \mu)\left(\abs{v_{C_1}+B_p}-
\abs{v_{C_1}-B_p}\right)$ avec
$\gamma$ la
pente pour $v_{C_1} \in [-B_p, B_p]$ et $\mu$ la pente en dehors de
cette région}\label{fig:NLRes_car}
\end{figure}
\begin{rem}
Le système est indépendant de $B_p$.
\end{rem}
\paragraph{Lien entre $h$ de~\ref{eq:chua} et $g$} en notant
$g(v_{C_1}) = \mu v_{C_1} + \frac{1}{2}(\gamma - \mu)\left(\abs{v_{C_1} + 1} -
\abs{v_{C_1} - 1}\right)$, on a, en suivant les changements de variable,
\[ m_1 = 1 + \frac{\mu}{G};\qquad m_0 = 1 + \frac{\gamma}{G} \]
\begin{proof}
On remarque que dans la démonstration précédente,
\begin{align*}
f(x) = \frac{1}{G}g(x)
\intertext{puis}
h(x) = x + f(x) &= (1 + \frac{\mu}{G})x + \frac{1}{2}.
\frac{\gamma - \mu}{G}(\abs{x + 1} - \abs{x-1})\\
&= m_1x + \frac{1}{2}(m_0 - m_1)(\abs{x+1} - \abs{x-1})
\end{align*}
\end{proof}
On peut maintenant relier directement les grandeurs physiques associées aux
valeurs utilisées pour la théorie.
\begin{xrem}
On confirme les valeurs utilisées dans chacun des deux articles:
dans~\cite{TDB85}, on a $(\mu, \gamma, G) = (-0.5, -0.8, 0.7)$ et
dans~\cite{TDSF86}, on a $(m_0, m_1) = (-\frac{1}{7}, \frac{2}{7})$. On
remarque que:
\[ -\frac{1}{7} = \frac{-0.8}{0.7} + 1;\qquad \frac{2}{7} = 1 +
\frac{-0.5}{0.7} \]
\end{xrem}
%\begin{rem}
% On peut vérifier le caractère adimensionné du système en examinant les
% changements de variables (évident pour $x,y,\alpha,a,b$). On remarque
% d'abord $\dim L = T\dim G$ (avec $u=Ldi/dt$) et $\dim C = \dim(U)TI^{-1}$
% (avec $i=Cdu/dt$),
% \begin{itemize}
% \item $\dim z = I\dim(GB_p)^{-1}$, avec la loi d'Ohm ($I=UG$), on
% obtient $\dim(GB_p) = I$, donc $z$ adimensionné.
% \item $\dim\beta = \dim C \dim(LG^2)^{-1}$, avec
% $\dim(LG^2)=\dim(U)TI^{-1}
% \dim(G)^2 = II^{-1}\dim(G)T=T\dim G$ et on obtient bien $\beta$
% sans dimension.
% \item $\dim\tau = T\dim G\dim C^{-1}$ donne $\tau$ sans dimension.
% \end{itemize}
%\end{rem}
%\begin{figure}
% \centering
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[
% axis x line = center,
% axis y line = middle,
% xlabel={$v_{C_1}$},
% ylabel={$i_M = g(v_{C_1})$},
% xtick = {-1,1},
% xticklabels = {$-B_p$,$B_p$},
% domain = -2:2]
% \addplot[mark=none]
% {-0.5*x+0.5*(-.8+0.5)*(abs(x+1)-abs(x-1))};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \caption{Caractéristique de la résistance non linéaire $i = g(v_{C_1})$ où
% $g(x, B_p, \gamma, \mu) =
% \mu v_{C_1} + \frac{1}{2}(\gamma - \mu)\left(\abs{v_{C_1}+B_p}-
% \abs{v_{C_1}-B_p}\right)$ avec
% $\gamma$ la
% pente pour $v_{C_1} \in [-B_p, B_p]$ et $\mu$ la pente en dehors de
% cette région}\label{fig:NLRes_car}
%\end{figure}
%\begin{rem}
% Le système est indépendant de $B_p$.
%\end{rem}
%\paragraph{Lien entre $h$ de~\ref{eq:chua} et $g$} en notant
%$g(v_{C_1}) = \mu v_{C_1} + \frac{1}{2}(\gamma - \mu)\left(\abs{v_{C_1} + 1} -
% \abs{v_{C_1} - 1}\right)$, on a, en suivant les changements de variable,
%\[ m_1 = 1 + \frac{\mu}{G};\qquad m_0 = 1 + \frac{\gamma}{G} \]
%\begin{proof}
% On remarque que dans la démonstration précédente,
% \begin{align*}
% f(x) = \frac{1}{G}g(x)
% \intertext{puis}
% h(x) = x + f(x) &= (1 + \frac{\mu}{G})x + \frac{1}{2}.
% \frac{\gamma - \mu}{G}(\abs{x + 1} - \abs{x-1})\\
% &= m_1x + \frac{1}{2}(m_0 - m_1)(\abs{x+1} - \abs{x-1})
% \end{align*}
%\end{proof}
%On peut maintenant relier directement les grandeurs physiques associées aux
%valeurs utilisées pour la théorie.
%\begin{xrem}
% On confirme les valeurs utilisées dans chacun des deux articles:
% dans~\cite{TDB85}, on a $(\mu, \gamma, G) = (-0.5, -0.8, 0.7)$ et
% dans~\cite{TDSF86}, on a $(m_0, m_1) = (-\frac{1}{7}, \frac{2}{7})$. On
% remarque que:
% \[ -\frac{1}{7} = \frac{-0.8}{0.7} + 1;\qquad \frac{2}{7} = 1 +
% \frac{-0.5}{0.7} \]
%\end{xrem}
\subsection{Le chaos dans le circuit de Chua}
......@@ -413,7 +414,8 @@ de diode).
\end{rem}
\paragraph{Liens valeurs physiques - système~\ref{eq:chua}}
On résume
On résume les changements de variable dans~\ref{app:demo_chua}, avec
$\mu$ et $\gamma$ des paramètres de la résistance non linéaire:
\[
\begin{matrix}
\alpha = C_2/C_1 & \beta = C_2/(LG^2)\\
......@@ -421,13 +423,21 @@ On résume
\end{matrix}
\]
On utilisera deux potentiomètres, de manière à faire varier $G$ et
$L$ (qui est un gyrateur et non une bobine)
$L$ (qui est un gyrateur et non une bobine).
\paragraph{Composants}
Les composants utilisés sont indiqués table~\ref{tab:el_comp}
page~\pageref{tab:el_comp},
les schémas du gyrateur et du memristor sont sur la figure~\ref{fig:opamps}
page~\pageref{fig:opamps}.
les schémas du gyrateur et de la résistance non linéaire sont sur la
figure~\ref{fig:opamps} page~\pageref{fig:opamps}.
\paragraph{Choix des paramètres~\cite{TDSF86}}
Un diagramme d'orbite donne les bifurcations en fonction des valeurs
des paramètres, et donc les valeurs des paramètres pour lesquels le système
est chaotique. On peut utiliser celui de l'article qui présente $\alpha$ en
abscisse, $\beta$ en ordonnée et la couleur de la zone donne le comportement,
pour $m_0$ et $m_1$ fixés.
\paragraph{Valeurs numériques}
On admet :
\[
......@@ -475,11 +485,6 @@ qui a:
\end{matrix}
\]
\paragraph{Points particuliers~\cite{TDSF86}}
``hole-filling double scroll'' pour $(\alpha, \beta, m_0, m_1) =
(9.85, 14.3, -1/7, 2/7)$. En traçant le diagramme d'orbite, ou en
utilisant celui de l'article à condition d'avoir les mêmes valeurs pour
$m_0$ $m_1$,on peut voir les points de naissance et de mort du double rouleau.
\begin{table}
\centering
......
0% or .
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