enleve dependance et sci

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@@ -24,76 +24,7 @@ unimodales (voir~\cite[\S 1.17]{ICDS03}).
         stable par $F_{3.5}$ et $F_{3.5}(0) = F_{3.5}(1) = 0$.}
 \end{figure}
 
-\subsection{Dépendance sensible aux conditions initiales et transitivité
-    topologique}
-On montre en introduisant la fonction de premier retour $R$ que les points
-répulsifs de $F_4$ sont denses.
 
-Soit $p = \frac{3}{4}$ et $\hat{p} = \frac{1}{4}$ tel que $F_4(\hat{p})=p$ et
-on note $J=[\hat{p},p]$.
-On a $F_4(J) = [3/4,1]$ et $F_4([3/4,1]) = [0,3/4]\supset J$. On en déduit
-que certains points de $J$ sont renvoyés dans $J$ par $F_4^2$ et on note
-$\hat{I}_2$ et $I_2$ les intervalles tels que $F_4^2(I_2) \subset J$, avec
-$\max\hat{I}_2 < c$ et $\min I_2 > c$. Si $x\notin I_2 \cup \hat{I}_2$, alors
-$F_4^2(x) \in [0,1/4]$ et comme $F_4([0,1/4]) = [0,3/4]$ et $F_4$ est croissante
-sur $[0,1/4]$, tant que $x\ne 1/2$, $x$ retournera dans $J$ après un certain
-nombre d'itérations de $F_4$.\todointern{Faire un schéma}
-On définit $\phi(x)$ le plus petit entier tel
-$F_4^{\phi(x)}\in J$, et pose $R\colon J\to J; x\mapsto F_4^{\phi(x)}(x)$.
-On définit
-\begin{gather*}
-    I_n = \{ x\in ]1/2,p[\vert \phi(x) = n\}\\
-    \hat{I}_n = \{ x \in [\hat{p},1/2[\vert \phi(x) = n\}
-\end{gather*}
-de telle sorte que pour tout $n\in\N$, $F_4^n\colon I_n\to J$ est un
-homéomorphisme, voir figure~\ref{fig:return_map}
-\begin{figure}
-    \centering
-    \begin{tikzpicture}
-        \begin{axis}[domain = 0.25:0.75,
-            ymin = 0.25, ymax = 0.75,
-            xtick={0.25, 0.5, 0.75}, xticklabels={$\hat{p}$, $c$, $p$},
-            ytick={0.25, 0.75}, yticklabels={$\hat{p}$, $p$}]
-            \addplot[mark=none, smooth] {\FunctionF(\FunctionF(x))};
-            \addplot[mark=none, smooth] {\FunctionF(\FunctionF(\FunctionF(x)))};
-            \addplot[dashed] coordinates {(0.5, 0.25) (0.5,0.75)};
-        \end{axis}
-    \end{tikzpicture}
-    \caption{Graphe de $R$ sur $J$}\label{fig:return_map}
-\end{figure}
-\begin{prop}
-    $\abs{R'(x)} > 1$ pour tout $x\in J$.
-\end{prop}
-\begin{proof}
-    Démontrable, fait appel au lemme sur les dérivées Schwarziennes.
-\end{proof}
-Ainsi, tout point fixe de $R$ est répulsif
-\begin{prop}
-    Les points répulsifs sont denses.
-\end{prop}
-\begin{proof}
-    Soit $U$ un intervalle de $I$. Si $x\notin J$, il existe $n\in\N$ et un
-    intervalle $U_0 \subset U$ tel que $V=F_4^n(U_0)\subset J$. Comme
-    $\abs{R'(x)} > 1$, $R$ agrandit les intervalles dans $J$. Par conséquent,
-    il existe $k\in\N^*$ et un intervalle $V_0\subset V$ tel que $R^k(V_0)$
-    contienne une discontinuité de $R$ (voir~\ref{fig:return_map}). De ce fait,
-    il existe $m\in\N^*$ tel que $p\in F_4^m(V_0)$.
-    Par analyse graphique, tout voisinage de $p$ est étendu par
-    itérations\todointern{??} jusqu'à couvrir $I$.
-\end{proof}
-On prouve également la transitivité topologique puisque tout intervalle de $I$
-est étendu à $I$ par itérations de $F_4$. De plus, comme $R$ allonge les
-distances, s'ensuit la dépendance sensible aux conditions initiales:
-si $x_0 \in I$ et $\delta > 0$ tel que $x_0 + \delta \in I$, avec
-$\abs{R'(x)} > \epsilon > 1$ pour tout $x$ dans $J$, on a, avec l'égalité des
-accroissements finis
-\begin{align*}
-    \abs{R(x_0 + \delta) - R(x_0)} &> \delta\epsilon\\
-    \abs{R^2(x_0 + \delta) - R^2(x_0)} &> \delta\epsilon^2\\
-    &\vdots\\
-    \abs{R^n(x_0 + \delta) - R^n(x_0)} &> \delta\epsilon^n
-\end{align*}
-avec $\delta\epsilon^n \to \infty$ lorsque $n\to\infty$ vu que $\epsilon > 1$.
 
 \subsection{La route vers le chaos~\cite{ICDS03}: les orbites périodiques}
 \begin{prop}