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Commit c4df9809 authored by Gabriel Hondet's avatar Gabriel Hondet
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......@@ -5,6 +5,7 @@
\usepackage{unicode-math}
\usepackage{tikz,pgfplots,subfig,circuitikz}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{float}
\usepackage[scale=0.8]{geometry}
\setdefaultlanguage{french}
......@@ -15,13 +16,13 @@
\newcommand\abs[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem*{thm}{Théorème}
\newtheorem*{cor}{Corollaire}
\newtheorem*{prop}{Proposition}
\newtheorem*{lem}{Lemme}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}{Définition}
\newtheorem*{defn}{Définition}
\begin{document}
\section{Préliminaires}
......@@ -44,10 +45,10 @@ alors $f$ et $g$ sont topologiquement conjuguées et ont les mêmes dynamiques.
\end{prop}
\paragraph{Bifurcation} $f_\lambda(x) = G(\lambda, x)\colon \R^2\to\R$,
\begin{figure}[h]
\begin{figure}[!h]
\subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda < 1$]
{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
\begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
\addplot[mark = none, smooth, domain=-2:2] {0.6*sinh(x)};
\addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
\end{axis}
......@@ -56,7 +57,7 @@ alors $f$ et $g$ sont topologiquement conjuguées et ont les mêmes dynamiques.
\quad
\subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda > 1$]
{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
\begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
\addplot[mark=none, smooth, domain=-2:2] {1.2*sinh(x)};
\addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
\end{axis}
......@@ -66,7 +67,6 @@ alors $f$ et $g$ sont topologiquement conjuguées et ont les mêmes dynamiques.
\paragraph{Section, fonction de Poincaré}
$\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poincaré.
\vspace{60mm}
\begin{defn}[Chaos, Robert L. Devaney]
\begin{itemize}
......@@ -83,19 +83,90 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
\end{itemize}
\newpage
\section{La fonction logistique, les fonctions unimodales}
\begin{defn}[Fonction unimodale]
$f\colon I\to I$ est unimodale si $f(0) = f(1) = 0$ et elle admet un
unique point critique $0 < c < 1$.
\end{defn}
\vspace{30mm}
\section{Oscillateur de Chua}
\subsection{\'Equations}
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[Circuit de l'oscillateur]
{\begin{circuitikz}[scale=1.5]
\draw
(0,0) to[L=$L$,i=$i_L$] (0,2) to[R=$R$] (4,2)
to[Mr=$M$] (4,0) to[short] (0,0);
\draw (1,2) to[C=$C_2$,v=$v_{C_2}$] (1,0);
\draw (3,2) to[C=$C_1$,v=$v_{C_1}$] (3,0);
\end{circuitikz}}
\quad
\subfloat[$h(x)$]
{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[width=70mm,axis x line = middle, axis y line = middle]
\addplot[mark=none,domain = -3:-1] {(2/7)*x - (-(1/7) - (2/7))};
\addplot[mark=none,domain = -1:1] {-(1/7)*x};
\addplot[mark=none,domain = 1:3] {(2/7)*x + (-(1/7) - (2/7))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
\begin{equation}\label{eq:chua}
\left\lbrace
\begin{aligned}
x' &= \alpha \left[y - h(x)\right]\\
y' &= x - y + z\\
z' &= -\beta y
\end{aligned}
\right.
% ;\quad
% h(x) = \begin{cases}
% m_1x + (m_0 - m_1), & x \geq 1\\
% m_0x, & \abs{x} \leq 1\\
% m_1x - (m_0 - m-1), & x \leq -1
% \end{cases}
\tag{$\mathfrak{C}$}
\end{equation}
%\begin{figure}
% \centering
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle]
% \addplot[mark=none,domain = -4:-1] {(2/7)*x - (-(1/7) - (2/7))};
% \addplot[mark=none,domain = -1:1] {-(1/7)*x};
% \addplot[mark=none,domain = 1:4] {(2/7)*x + (-(1/7) - (2/7))};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \caption{$h(x)$, $m_1$ la pente pour $\abs{x} < 1$ et $m_0$ la pente pour
% $\abs{x} \geq 1$}
%\end{figure}
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[3d box=complete, grid=major, xlabel=$x$, ylabel=$y$,
% zlabel=$z$]
% \addplot3[mark=none, ultra thin]
% table [x=b, y=c, z=d, col sep=comma] {chua.csv};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
\subsection{\'Etude: fonction de Poincaré associé à la section dans le plan $x=1$}
\begin{figure}[!h]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel=$x_n$, ylabel=$x_{n+1}$]
\addplot[only marks, mark size = 1pt]
table [x=a, y=b, col sep=comma,restrict x to domain=0:0.35] {poincare_fct.csv};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Fonction de Poincaré, obtenue par intégration numérique: $x_n$
correspond à la coordonée $x$ du $n$-ième point d'intersection avec
la section de Poincaré.}
\end{figure}
\newpage
\section{Les fonctions unimodales et la route vers le chaos}
\subsection{Fonctions unimodales, fonction logistique}
\[ F_\mu(x) = \mu x(1-x) \]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[domain=0:1, axis x line = middle, axis y line = left]
\addplot[mark=none] {3.8*x*(1-x)};
\addplot[mark=none] {x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[domain=0:1, axis x line = middle, axis y line = left]
\addplot[mark=none] {3.8*x*(1-x)};
\addplot[mark=none] {x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{prop}
$F_4$ est chaotique sur $[0,1]$.
......@@ -107,8 +178,8 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
\end{prop}
\begin{figure}[h]
\centering
\subfloat[Graphe de $F_{2.9}^2(x)$]{
\begin{tikzpicture}
\subfloat[Graphe de $F_{2.9}^2(x)$]
{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[width = 6cm, ticks=none, axis x line = middle, axis y line = left]
\addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {8.41*(1-x)*x*(1-2.9*(1-x)*x)};
\addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {x};
......@@ -116,8 +187,8 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
\end{tikzpicture}
}
\quad
\subfloat[Graphe de $F_{3.2}^2(x)$]{
\begin{tikzpicture}
\subfloat[Graphe de $F_{3.2}^2(x)$]
{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[width = 6cm, ticks = none, axis x line = middle, axis y line = left]
\addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {10.24*(1-x)*x*(1-3.2*(1-x)*x)};
\addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {x};
......@@ -131,108 +202,59 @@ $L_\mu$ affine telle que $L_\mu(p_\mu) = 0$ et $L_\mu(\hat{p}_\mu) = 0$,
Diagramme d'orbite:
\vspace{120mm}
Cascade de doublement de période.
\newpage
\section{Oscillateur de Chua}
\begin{circuitikz}[scale=1.5]
\draw
(0,0) to[L=$L$,i=$i_L$] (0,2) to[R=$R$] (4,2)
to[Mr=$M$] (4,0) to[short] (0,0);
\draw (1,2) to[C=$C_2$,v=$v_{C_2}$] (1,0);
\draw (3,2) to[C=$C_1$,v=$v_{C_1}$] (3,0);
\end{circuitikz}
\begin{equation}\label{eq:chua}
\left\lbrace
\begin{aligned}
x' &= \alpha \left[y - h(x)\right]\\
y' &= x - y + z\\
z' &= -\beta y
\end{aligned}
\right.;\quad
h(x) = \begin{cases}
m_1x + (m_0 - m_1), & x \geq 1\\
m_0x, & \abs{x} \leq 1\\
m_1x - (m_0 - m-1), & x \leq -1
\end{cases}
\tag{$\mathfrak{C}$}
\end{equation}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle]
\addplot[mark=none,domain = -4:-1] {(2/7)*x - (-(1/7) - (2/7))};
\addplot[mark=none,domain = -1:1] {-(1/7)*x};
\addplot[mark=none,domain = 1:4] {(2/7)*x + (-(1/7) - (2/7))}
node{$h(x)$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[3d box=complete, grid=major, xlabel=$x$, ylabel=$y$,
% zlabel=$z$]
% \addplot3[mark=none, ultra thin]
% table [x=b, y=c, z=d, col sep=comma] {chua.csv};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
\paragraph{Indicateur de chaos: la cascade de doublement de période}
Fonction de Poincaré sur les maxima locaux et diagramme d'orbite associé
\subsection{Application à l'oscillateur de Chua}
\begin{figure}[h]
\centering
\subfloat[Fonction de Poincaré $m_{n+1} = \pi(m_n)$]
{\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel=$m_n$, ylabel=$m_{n+1}$]
\addplot[only marks, mark size = 1pt]
table [x=a, y=b, col sep=comma] {poincare_dfct.csv};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\quad
\subfloat[Arbre de dédoublement de période]
{\begin{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel=$\alpha$, ylabel=$y_n$]
\addplot[only marks, mark size = 0.1pt]
table [x=a, y=b, col sep=comma] {chua_perdbl_deriv.csv};
\end{axis}
\end{tikzpicture}}
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramme d'orbite, obtenu par intégration numérique.}
\end{figure}
\paragraph{Conception de l'oscillateur}
\begin{circuitikz}
\draw (0,23) to[short] (0,22);
\draw
% Moitié droite
(0,22) to[R=$R_4$] (5,22) to[short] (5,18) to[R=$R_5$] (1,18)
to[R=$R_6$] (1,16) to[short] (0,16)
% Moitié gauche
to[short] (-1,16) to[R=$R_3$] (-1,18) to[R=$R_2$] (-5,18) to[short]
(-5,22) to[R=$R_1$] (0,22);
\draw (0,16) to[short] (0,15);
% Op amps
\draw (3,20) node[op amp,yscale=-1](opampd){}
(opampd.+) -- (1,20.5) -- (1,22)
(opampd.-) -- (1,19.5) -- (1,18)
(opampd.out) -- (5,20);
\draw (-3,20) node[op amp,xscale=-1,yscale=-1](opampg){}
(opampg.+) -- (-1,20.5) -- (-1,22)
(opampg.-) -- (-1,19.5) -- (-1,18)
(opampg.out) -- (-5,20);
\end{circuitikz}
\newpage
\section{Conception de l'oscillateur}
\begin{figure}[H]
\begin{circuitikz}
\draw (0,23) to[short] (0,22);
\draw
% Moitié droite
(0,22) to[R=$R_4$] (5,22) to[short] (5,18) to[R=$R_5$] (1,18)
to[R=$R_6$] (1,16) to[short] (0,16)
% Moitié gauche
to[short] (-1,16) to[R=$R_3$] (-1,18) to[R=$R_2$] (-5,18) to[short]
(-5,22) to[R=$R_1$] (0,22);
\draw (0,16) to[short] (0,15);
% Op amps
\draw (3,20) node[op amp,yscale=-1](opampd){}
(opampd.+) -- (1,20.5) -- (1,22)
(opampd.-) -- (1,19.5) -- (1,18)
(opampd.out) -- (5,20);
\draw (-3,20) node[op amp,xscale=-1,yscale=-1](opampg){}
(opampg.+) -- (-1,20.5) -- (-1,22)
(opampg.-) -- (-1,19.5) -- (-1,18)
(opampg.out) -- (-5,20);
\end{circuitikz}
\caption{Diode de Chua}
\end{figure}
\newpage
\section{Application: cryptage d'informations}
Clefs: conditions initiales ou paramètres $(\alpha, \beta, m_0, m_1)$.
\paragraph{Cryptage d'un signal par masque additif}
\begin{figure}[H]
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = left, ticks=none,
xlabel=$t$, ylabel=$x$]
\addplot[mark=none,smooth] table[x=a,y=b, col sep = comma, skip coords between index = {15000}{49800}] {chua.csv};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
Puis transmission par modulation d'amplitude:
\[ s_m(t) = A_p\left( 1 + m\left(e(t)+x(t)\right)\right)\cos2\symup{\pi} f_pt \]
\begin{itemize}
\item $p$ porteuse ($A_p, f_p$);
\item $e(t)$ message;
\item $x$ grandeur issue de l'oscillateur.
\end{itemize}
\begin{tikzpicture}
% Signal
\draw[->] (5,0) node[above] {$e(t)$} -- (6.25,0);
......@@ -259,10 +281,4 @@ Cryptage par flux avec ``XOR'' noté $\oplus$.
\[ a = b \oplus c \iff b = a \oplus c \]
\end{cor}
\includegraphics{pic/chua_bitmap_seq.png}
\paragraph{Déficiences}
\begin{itemize}
\item Durée caractéristique de variation trop élevée;
\item décryptage complexe.
\end{itemize}
\end{document}
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