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......@@ -26,266 +26,8 @@
\newtheorem*{defn}{Définition}
\begin{document}
%\section{Préliminaires}
%
%\paragraph{Systèmes dynamiques}
%\[
% \begin{array}{ll|l}
% & \symup{Discret} & \symup{Continu}\\
% \hline
% \symup{Definition} & x_{n+1} = f(x) & x' = f(x)\\
% \symup{Orbite} & O^+(x) = \{x, f(x), f^2(x), \dots, f^n(x), \dots \} &
% \gamma(x) = \{x(t)\vert t\in\R\}\\
% \end{array}
%\]
%
%\begin{prop}[Conjugaison topologique]
%S'il existe $h$ homéomorphisme tel que
%\[ h\circ f = g \circ h \]
%alors $f$ et $g$ sont topologiquement conjuguées et ont les mêmes dynamiques.
%\end{prop}
%
%\paragraph{Bifurcation} $f_\lambda(x) = G(\lambda, x)\colon \R^2\to\R$,
%\begin{figure}[!h]
% \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda < 1$]
% {\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
% \addplot[mark = none, smooth, domain=-2:2] {0.6*sinh(x)};
% \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% }
% \quad
% \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda > 1$]
% {\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[width=60mm,axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
% \addplot[mark=none, smooth, domain=-2:2] {1.2*sinh(x)};
% \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% }
%\end{figure}
%
%\paragraph{Section, fonction de Poincaré}
%$\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poincaré.
%
%\begin{defn}[Chaos, Robert L. Devaney]
%\begin{itemize}
% \item dépendance sensible aux conditions initiales: \emph{imprédictibilité},
% \item transitivité topologique: \emph{indivisibilité},
% \item densité des orbites périodiques: \emph{régularité}.
%\end{itemize}
%\end{defn}
%
%\paragraph{Cryptographie, confusion et diffusion (Shannon)}
%\begin{itemize}
% \item Confusion: complexité de la relation clef/message;
% \item diffusion: étalement de la structure statistique du message.
%\end{itemize}
%
%\newpage
%
%\section{Oscillateur de Chua}
%\subsection{\'Equations}
%\begin{figure}[H]
% \centering
% \subfloat[Circuit de l'oscillateur]
% {\begin{circuitikz}[scale=1.5]
% \draw
% (0,0) to[L=$L$,i=$i_L$] (0,2) to[R=$R$] (4,2)
% to[Mr=$M$] (4,0) to[short] (0,0);
% \draw (1,2) to[C=$C_2$,v=$v_{C_2}$] (1,0);
% \draw (3,2) to[C=$C_1$,v=$v_{C_1}$] (3,0);
% \end{circuitikz}}
% \quad
% \subfloat[$h(x)$]
% {\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[width=70mm,axis x line = middle, axis y line = middle]
% \addplot[mark=none,domain = -3:-1] {(2/7)*x - (-(1/7) - (2/7))};
% \addplot[mark=none,domain = -1:1] {-(1/7)*x};
% \addplot[mark=none,domain = 1:3] {(2/7)*x + (-(1/7) - (2/7))};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}}
%\end{figure}
%\begin{equation}\label{eq:chua}
% \left\lbrace
% \begin{aligned}
% x' &= \alpha \left[y - h(x)\right]\\
% y' &= x - y + z\\
% z' &= -\beta y
% \end{aligned}
% \right.
%% ;\quad
%% h(x) = \begin{cases}
%% m_1x + (m_0 - m_1), & x \geq 1\\
%% m_0x, & \abs{x} \leq 1\\
%% m_1x - (m_0 - m-1), & x \leq -1
%% \end{cases}
% \tag{$\mathfrak{C}$}
%\end{equation}
%%\begin{figure}
%% \centering
%% \begin{tikzpicture}
%% \begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle]
%% \addplot[mark=none,domain = -4:-1] {(2/7)*x - (-(1/7) - (2/7))};
%% \addplot[mark=none,domain = -1:1] {-(1/7)*x};
%% \addplot[mark=none,domain = 1:4] {(2/7)*x + (-(1/7) - (2/7))};
%% \end{axis}
%% \end{tikzpicture}
%% \caption{$h(x)$, $m_1$ la pente pour $\abs{x} < 1$ et $m_0$ la pente pour
%% $\abs{x} \geq 1$}
%%\end{figure}
%% \begin{tikzpicture}
%% \begin{axis}[3d box=complete, grid=major, xlabel=$x$, ylabel=$y$,
%% zlabel=$z$]
%% \addplot3[mark=none, ultra thin]
%% table [x=b, y=c, z=d, col sep=comma] {chua.csv};
%% \end{axis}
%% \end{tikzpicture}
%\subsection{\'Etude: fonction de Poincaré associé à la section dans le plan $x=1$}
%\begin{figure}[!h]
% \centering
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[xlabel=$y_n$, ylabel=$y_{n+1}$]
% \addplot[only marks, mark size = 1pt]
% table [x=a, y=b, col sep=comma,restrict x to domain=0:0.35] {poincare_fct.csv};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \caption{Fonction de Poincaré, obtenue par intégration numérique: $x_n$
% correspond à la coordonée $y$ du $n$-ième point d'intersection avec
% la section de Poincaré.}
%\end{figure}
%
%\newpage
%\section{Les fonctions unimodales et la route vers le chaos}
%\subsection{Fonctions unimodales, fonction logistique}
%\[ F_\mu(x) = \mu x(1-x) \]
%\begin{center}
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[domain=0:1, axis x line = middle, axis y line = left]
% \addplot[mark=none] {3.8*x*(1-x)};
% \addplot[mark=none] {x};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
%\end{center}
%
%\begin{prop}
% $F_4$ est chaotique sur $[0,1]$.
%\end{prop}
%
%\paragraph{Densité des orbites périodiques}
%\begin{prop}
% $F_\mu$ subit une bifurcation de doublement de période en $\mu = 3$.
%\end{prop}
%\begin{figure}[h]
% \centering
% \subfloat[Graphe de $F_{2.9}^2(x)$]
% {\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[width = 6cm, ticks=none, axis x line = middle, axis y line = left]
% \addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {8.41*(1-x)*x*(1-2.9*(1-x)*x)};
% \addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {x};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% }
% \quad
% \subfloat[Graphe de $F_{3.2}^2(x)$]
% {\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[width = 6cm, ticks = none, axis x line = middle, axis y line = left]
% \addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {10.24*(1-x)*x*(1-3.2*(1-x)*x)};
% \addplot[mark=none, domain=0:1, smooth] {x};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% }
%\end{figure}
%\subparagraph{Renormalisation}
%$L_\mu$ affine telle que $L_\mu(p_\mu) = 0$ et $L_\mu(\hat{p}_\mu) = 0$,
%\[ \symup{R}F_\mu = L_\mu \circ F^2_\mu \circ L^{-1}_\mu \]
%Diagramme d'orbite:
%\vspace{120mm}
%Cascade de doublement de période.
%
%\subsection{Application à l'oscillateur de Chua}
%\begin{figure}[h]
% \centering
% \begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[xlabel=$\alpha$, ylabel=$y_n$]
% \addplot[only marks, mark size = 0.1pt]
% table [x=a, y=b, col sep=comma] {chua_perdbl_deriv.csv};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \caption{Diagramme d'orbite, obtenu par intégration numérique.}
%\end{figure}
%
%\newpage
%\section{Conception de l'oscillateur}
%\begin{figure}[H]
% \begin{circuitikz}
% \draw (0,23) to[short] (0,22);
% \draw
% % Moitié droite
% (0,22) to[R=$R_4$] (5,22) to[short] (5,18) to[R=$R_5$] (1,18)
% to[R=$R_6$] (1,16) to[short] (0,16)
% % Moitié gauche
% to[short] (-1,16) to[R=$R_3$] (-1,18) to[R=$R_2$] (-5,18) to[short]
% (-5,22) to[R=$R_1$] (0,22);
% \draw (0,16) to[short] (0,15);
% % Op amps
% \draw (3,20) node[op amp,yscale=-1](opampd){}
% (opampd.+) -- (1,20.5) -- (1,22)
% (opampd.-) -- (1,19.5) -- (1,18)
% (opampd.out) -- (5,20);
% \draw (-3,20) node[op amp,xscale=-1,yscale=-1](opampg){}
% (opampg.+) -- (-1,20.5) -- (-1,22)
% (opampg.-) -- (-1,19.5) -- (-1,18)
% (opampg.out) -- (-5,20);
% \end{circuitikz}
% \caption{Diode de Chua}
%\end{figure}
%
%\newpage
%\section{Application: cryptage d'informations}
%Clefs: conditions initiales ou paramètres $(\alpha, \beta, m_0, m_1)$.
%\paragraph{Cryptage d'un signal par masque additif}
%\begin{figure}[H]
%\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = left, ticks=none,
% xlabel=$t$, ylabel=$x$]
% \addplot[mark=none,smooth] table[x=a,y=b, col sep = comma, skip coords between index = {15000}{49800}] {chua.csv};
% \end{axis}
%\end{tikzpicture}
%\end{figure}
%Puis transmission par modulation d'amplitude:
%\[ s_m(t) = A_p\left( 1 + m\left(e(t)+x(t)\right)\right)\cos2\symup{\pi} f_pt \]
%\begin{tikzpicture}
% % Signal
% \draw[->] (5,0) node[above] {$e(t)$} -- (6.25,0);
% % Chua
% \draw (6.5,2) node {$\mathfrak{C}$};
% \draw (6,1.75) rectangle (7,2.25);
% \draw[->] (6.5,1.75) -- (6.5,0.25);
% % Somme
% \draw (6.5,0) circle (0.25cm);
% \draw (6.5,0) node {$+$};
% \draw[->] (6.75,0) -- (8,0);
% % Porteuse
% \draw[->] (5,-0.5) node[below] {$p(t)$} -- (8,-0.5);
% % Multiplieur
% \draw (10,-0.25) node {multiplicateur};
% \draw (8,-0.75) rectangle (12,0.25);
% % Sortie
% \draw[->] (12,-0.25) -- (13,-0.25) node[right] {$s_m(t)$};
%\end{tikzpicture}
%
%\paragraph{Utilisation en GPA}
%Cryptage par flux avec ``XOR'' noté $\oplus$.
%\begin{cor}
% \[ a = b \oplus c \iff b = a \oplus c \]
%\end{cor}
%\includegraphics{pic/chua_bitmap_seq.png}
%\newpage
\section{Objectif et moyens}
\paragraph{Objectif} Crypter à l'aide de systèmes dynamiques.
\paragraph{Système dynamique}
\section{Cryptographie par systèmes dynamiques et théorie du chaos}
\paragraph{Système dynamique et chaos}
\[
\begin{array}{ll|l}
& \text{Discret} & \text{Continu}\\
......@@ -309,15 +51,15 @@
\item diffusion: étalement de la structure statistique du message.
\end{itemize}
\section{L'oscillateur de Chua}
\subsection{\'Equations}
\section{Un système chaotique: l'oscillateur de Chua}
\subsection{Mise en équation du système de Chua}
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[Circuit de l'oscillateur]
{\begin{circuitikz}[scale=1.5]
\draw
(0,0) to[L=$L$,i=$i_L$] (0,2) to[R=$R$] (4,2)
to[Mr=$M$] (4,0) to[short] (0,0);
to[Mr=$D_C$] (4,0) to[short] (0,0);
\draw (1,2) to[C=$C_2$,v=$v_{C_2}$] (1,0);
\draw (3,2) to[C=$C_1$,v=$v_{C_1}$] (3,0);
\end{circuitikz}}
......@@ -348,7 +90,7 @@
\tag{$\mathfrak{C}$}
\end{equation}
\subsection{\'Etude de l'oscillateur}
\subsection{\'Etude de l'oscillateur: apparition du chaos}
\subsubsection{Du continu au discret: fonction de Poincaré}
$\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poincaré.
\vspace{40mm}
......@@ -372,9 +114,8 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
mêmes dynamiques.
\end{prop}
\section{Fonctions unimodales, fonction logistique et route vers le chaos}
\subsection{Fonctions unimodales, fonction logistique}
\subsubsection{Les fonctions unimodales: systèmes dynamiques discrets}
\paragraph{La fonction logistique: un cas particulier des fonctions unimodales}
\[ F_\mu(x) = \mu x(1-x) \]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
......@@ -389,7 +130,7 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
$F_4$ est chaotique sur $[0,1]$.
\end{prop}
\subsection{Théorie de la bifurcation}
\paragraph{\'Eléments de preuve du chaos via la théorie de la bifurcation}
\[f_\lambda(x) = G(\lambda, x)\colon \R^2\to\R\]
\begin{figure}[!h]
\centering
......@@ -412,7 +153,7 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
}
\end{figure}
\subsection{Route vers le chaos}
\subparagraph{\'Evolution vers le chaos}
\begin{prop}
$F_\mu$ subit une bifurcation de doublement de période en $\mu = 3$.
\end{prop}
......@@ -436,15 +177,22 @@ $\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poin
\end{tikzpicture}
}
\end{figure}
\subparagraph{Renormalisation}
\emph{Renormalisation:}
$L_\mu$ affine telle que $L_\mu(p_\mu) = 0$ et $L_\mu(\hat{p}_\mu) = 0$,
\[ \symup{R}F_\mu = L_\mu \circ F^2_\mu \circ L^{-1}_\mu \]
Diagramme d'orbite:
\vspace{120mm}
Cascade de doublement de période.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel=$\mu$, ylabel=$x$, width=\linewidth]
\addplot[only marks, mark size=0.1pt] table [x=a, y=b, col sep=comma]
{bif_diag.csv};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramme d'orbite de la fonction logistique
$F(x) = \mu x(1-x)$ pour $\mu \in [3,4]$}\label{fig:diag_orb}
\end{figure}
\section{Retour à l'oscillateur de Chua}
\subsection{Retour à l'oscillateur de Chua}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
......@@ -457,33 +205,11 @@ Cascade de doublement de période.
par paramètre $\alpha$ balayé.}
\end{figure}
\section{Conception de l'oscillateur}
%\begin{figure}[H]
% \begin{circuitikz}
% \draw (0,23) to[short] (0,22);
% \draw
% % Moitié droite
% (0,22) to[R=$R_4$] (5,22) to[short] (5,18) to[R=$R_5$] (1,18)
% to[R=$R_6$] (1,16) to[short] (0,16)
% % Moitié gauche
% to[short] (-1,16) to[R=$R_3$] (-1,18) to[R=$R_2$] (-5,18) to[short]
% (-5,22) to[R=$R_1$] (0,22);
% \draw (0,16) to[short] (0,15);
% % Op amps
% \draw (3,20) node[op amp,yscale=-1](opampd){}
% (opampd.+) -- (1,20.5) -- (1,22)
% (opampd.-) -- (1,19.5) -- (1,18)
% (opampd.out) -- (5,20);
% \draw (-3,20) node[op amp,xscale=-1,yscale=-1](opampg){}
% (opampg.+) -- (-1,20.5) -- (-1,22)
% (opampg.-) -- (-1,19.5) -- (-1,18)
% (opampg.out) -- (-5,20);
% \end{circuitikz}
% \caption{Diode de Chua}
%\end{figure}
\section{Application: cryptage d'informations}
\paragraph{Cryptage d'un signal par masque additif}
\section{Mise en \oe uvre}
\subsection{Réalisation du circuit}
\subsection{Simulation numérique}
\subsection{Application: cryptage d'informations}
\subsubsection{Cryptage d'un signal par masque additif, transmission par AM}
%\begin{figure}[H]
%\begin{tikzpicture}
% \begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = left, ticks=none,
......@@ -492,42 +218,36 @@ Cascade de doublement de période.
% \end{axis}
%\end{tikzpicture}
%\end{figure}
Puis transmission par modulation d'amplitude:
\[ s_m(t) = A_p\left[ 1 + m\left(e(t)+x(t)\right)\right]\cos(2\symup{\pi}f_pt)\]
%\begin{tikzpicture}
% % Signal
% \draw[->] (5,0) node[above] {$e(t)$} -- (6.25,0);
% % Chua
% \draw (6.5,2) node {$\mathfrak{C}$};
% \draw (6,1.75) rectangle (7,2.25);
% \draw[->] (6.5,1.75) -- (6.5,0.25);
% % Somme
% \draw (6.5,0) circle (0.25cm);
% \draw (6.5,0) node {$+$};
% \draw[->] (6.75,0) -- (8,0);
% % Porteuse
% \draw[->] (5,-0.5) node[below] {$p(t)$} -- (8,-0.5);
% % Multiplieur
% \draw (10,-0.25) node {multiplicateur};
% \draw (8,-0.75) rectangle (12,0.25);
% % Sortie
% \draw[->] (12,-0.25) -- (13,-0.25) node[right] {$s_m(t)$};
%\end{tikzpicture}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Signal
\draw[->] (5,0) node[above] {$e(t)$} -- (6.25,0);
% Chua
\draw (6.5,2) node {$\mathfrak{C}$};
\draw (6,1.75) rectangle (7,2.25);
\draw[->] (6.5,1.75) -- (6.5,0.25);
% Somme
\draw (6.5,0) circle (0.25cm);
\draw (6.5,0) node {$+$};
\draw[->] (6.75,0) -- (8,0);
% Porteuse
\draw[->] (5,-0.5) node[below] {$p(t)$} -- (8,-0.5);
% Multiplieur
\draw (10,-0.25) node {multiplicateur};
\draw (8,-0.75) rectangle (12,0.25);
% Sortie
\draw[->] (12,-0.25) -- (13,-0.25) node[right] {$s_m(t)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\paragraph{Utilisation en GPA}
\subsubsection{Utilisation en GPA}
Cryptage par flux avec ``XOR'' noté $\oplus$.
\begin{cor}
\[ a = b \oplus c \iff b = a \oplus c \]
\end{cor}
\begin{figure}[H]
\subfloat[$x(0) = 0.7$]
{\includegraphics{pic/chua_bitmap_seq.png}}
\quad
\subfloat[$x(0) = 0.8$]
{\includegraphics{pic/chua_bitmap_seq_08.png}}
\end{figure}
\subsection{Dépendance sensible aux conditions initiales}
\subsection{Vérifications de la théorie: dépendance sensible et apériodicité}
\begin{figure}[H]
\subfloat[$x(0) = 0.7$]
{\begin{tikzpicture}
......@@ -554,4 +274,12 @@ Cryptage par flux avec ``XOR'' noté $\oplus$.
\end{tikzpicture}}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\subfloat[$x(0) = 0.7$]
{\includegraphics{pic/chua_bitmap_seq.png}}
\quad
\subfloat[$x(0) = 0.8$]
{\includegraphics{pic/chua_bitmap_seq_08.png}}
\end{figure}
\end{document}
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