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presentation.tex

+\documentclass[12pt]{article}
+\usepackage{fontspec}
+\usepackage{polyglossia}
+\usepackage{unicode-math}
+\usepackage{tikz,pgfplots,subfig}
+\usepackage{xcolor}
+
+\setdefaultlanguage{french}
+\setmainfont{XITS}
+\setmathfont{XITS Math}
+
+\newcommand\R{\symbf{R}}
+
+\begin{document}
+\section{Préliminaires}
+
+\paragraph{Systèmes dynamiques}
+\[
+    \begin{array}{ll|l}
+        & \symup{Discret} & \symup{Continu}\\
+        \hline
+        \symup{D\'efinition} & x_{n+1} = f(x) & x' = f(x)\\
+        \symup{Orbite} & O^+(x) = \{x, f(x), f^2(x), \dots, f^n(x), \dots \} &
+        \gamma(x) = \{x(t)\vert t\in\R\}\\
+    \end{array}
+\]
+
+\paragraph{Conjugaison topologique} s'il existe $h$ homéomorphisme tel que
+\[ h\circ f = g \circ h \]
+alors $f$ et $g$ sont topologiquement conjuguées et ont les mêmes dynamiques.
+
+\paragraph{Bifurcation} $f_\lambda(x) = G(\lambda, x)\colon \R^2\to\R$,
+\begin{figure}[h]
+    \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda < 1$]
+    {\begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
+                \addplot[mark = none, smooth, domain=-2:2] {0.6*sinh(x)};
+                \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    }
+    \quad
+    \subfloat[$\lambda\sinh(x), \lambda > 1$]
+    {\begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[axis x line = middle, axis y line = middle, ticks=none]
+                \addplot[mark=none, smooth, domain=-2:2] {1.2*sinh(x)};
+                \addplot[mark=none, domain=-2:2] {x};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    }
+\end{figure}
+
+\paragraph{Section, fonction de Poincaré}
+$\textcolor{green}{\phi_t(x)}$, $g(x) = \phi_{\tau(x)}(x)$, $g$ fonction de Poincaré.
+\vspace{60mm}
+
+\paragraph{Chaos} Définition de Robert. L. Devaney:
+\begin{itemize}
+    \item dépendance sensible aux conditions initiales: \emph{imprédictibilité},
+    \item transitivité topologique: \emph{indivisibilité},
+    \item densité des orbites périodiques: \emph{régularité}.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Cryptographie, confusion et diffusion (Shannon)}
+\begin{itemize}
+    \item Confusion: complexité de la relation clef/message;
+    \item diffusion: étalement de la structure statistique du message.
+\end{itemize}
+
+\section{La fonction logistique, les fonctions unimodales}
+\[ F_\mu(x) = \mu x(1-x) \]
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[domain=0:1, axis x line = middle, axis y line = left]
+        \addplot[mark=none] {3.8*x*(1-x)};
+        \addplot[mark=none] {x};
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+\end{document}